La duration obligataire (duration simple, Macaulay...)
Dernière mise à jour : 5 mai 2025
Qu’est-ce que la duration ?
La duration est une mesure de la sensibilité du prix d’un titre à revenu fixe (obligation, bon du Trésor, etc.) aux variations des taux d’intérêt. Elle exprime, en années, le moment moyen où les flux futurs (coupons et remboursement du capital) sont reçus, pondérés par leur poids dans le prix total.
Elle permet d’estimer l’impact d’une variation de taux sur le prix de l’obligation :
- Une duration de 5 signifie que le prix de l’obligation baissera d’environ 5 % si les taux montent de 1 %.
- Et inversement, il montera d’environ 5 % si les taux baissent de 1 %.
La duration est donc une approximation de l'élasticité du prix obligataire par rapport aux taux.
Ce concept est central dans la gestion de portefeuille obligataire, le pilotage de l’exposition au risque de taux, et la comparaison de différentes obligations.
Interprétation intuitive
Supposons deux obligations à maturité 10 ans :
- L’une verse 0 % de coupon (zéro coupon)
- L’autre verse 8 % de coupon annuel
La première a une duration de 10 (tout est payé à la fin).
La seconde a une duration bien inférieure, disons 6 à 7 ans : les flux sont répartis dans le temps, donc "en moyenne", l’argent est reçu plus tôt. Cela diminue la sensibilité aux taux.
👉 Plus une obligation verse tôt et beaucoup, moins elle est sensible aux taux.
La duration de Macaulay : définition mathématique
La duration de Macaulay se définit comme la moyenne pondérée des échéances des flux futurs, les poids étant les valeurs actualisées des flux.
Formellement :
\[ D_{\text{mac}} = \frac{\sum_{t=1}^{n} t \cdot \frac{CF_t}{(1 + r)^t}}{P_0} \]
Où :
- \( CF_t \) est le flux à la date \( t \)
- \( r \) est le taux d’actualisation
- \( P_0 \) est le prix de l’obligation
Exemple numérique
Prenons une obligation 3 ans, coupons 5 %, valeur nominale 100 €. Taux d’actualisation : 5 %.
| Année | Flux (€) | Actualisation | Valeur actuelle | Pondération | Pondération × année |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 5 | /1,05 | 4,76 | 4,76 / 100 | 0,048 |
| 2 | 5 | /1,1025 | 4,54 | 4,54 / 100 | 0,090 |
| 3 | 105 | /1,1576 | 90,70 | 90,7 / 100 | 2,721 |
Duration de Macaulay : 0,048 + 0,090 + 2,721 = 2,86 ans
La duration modifiée
La duration modifiée est directement reliée à la sensibilité du prix de l’obligation à une variation du taux d’intérêt.
Elle se calcule comme :
\[ D_{\text{mod}} = \frac{D_{\text{mac}}}{1 + r} \]
Avec \( r \) le taux d’actualisation (ou taux de rendement actuariel de l’obligation).
Si la duration de Macaulay est de 2,86 ans et \( r = 5\% \), alors :
\[ D_{\text{mod}} = \frac{2{,}86}{1{,}05} \approx 2{,}72 \]
Cela signifie qu’une hausse des taux de 1 % entraînera une baisse de 2,72 % du prix.
Résumé des propriétés fondamentales
- Une obligation zéro coupon a une duration égale à sa maturité
- Une obligation à coupons a une duration inférieure à sa maturité
- Plus les coupons sont élevés, plus la duration est faible
- Plus l’échéance est lointaine, plus la duration est longue
- Une obligation remboursée par anticipation a une duration raccourcie
Cas particuliers
| Type d'obligation | Duration typique | Explication |
|---|---|---|
| Zéro coupon 10 ans | 10 ans | Un seul flux final |
| Coupon 5 % sur 10 ans | ~8 ans | Flux intermédiaires réduisent la durée |
| Coupon 8 % sur 10 ans | ~6,5 ans | Flux plus rapprochés |
| High Yield (taux élevé) | < duration standard | Le capital est récupéré plus vite |
Cas d’un portefeuille
La duration d’un portefeuille est la moyenne pondérée des durations individuelles des lignes, selon leur poids dans le portefeuille :
\[ D_{\text{portefeuille}} = \sum_{i=1}^{n} w_i \cdot D_i \]
Où :
- \( w_i \) est la part de la ligne \( i \)
- \( D_i \) est la duration de la ligne \( i \)
C’est ce qu’on retrouve dans les reporting des fonds : "duration du portefeuille : 6,2 ans".
⚠️ Une obligation à duration longue perdra plus si les taux montent. Mais elle bénéficiera plus d’une baisse.
Estimation mentale rapide
Vous pouvez estimer une duration intuitivement comme suit :
- Plus les flux sont concentrés à la fin, plus la duration est proche de la maturité
- Plus les flux sont importants au début, plus elle est courte
- Une duration de 7 sur une obligation de maturité 10 ans indique des flux "moyennement répartis"
Exemple :
- Une obligation de maturité 10 ans avec coupons à 4 % → duration ≈ 8 ans
- La même obligation avec coupons à 8 % → duration ≈ 6,5 ans (les flux sont un peu plus concentrés au début)
En pratique, comment utiliser la duration ?
- Pour comparer des obligations ayant des échéances ou des coupons différents
- Pour piloter le risque de taux dans un portefeuille
- Pour adapter la sensibilité au taux à ses anticipations (ex : duration courte si on anticipe une hausse des taux)
Lien avec la convexité
La duration est une approximation linéaire de la variation du prix. En réalité, la courbe est convexe.
La convexité affine l’analyse, surtout en cas de variation importante des taux.
Mais dans 90 % des cas, la duration suffit.
Pour aller plus loin
Terme en anglais : Duration, Macaulay duration
Nicolas Pérot
Ancien trader sur produits de taux d’intérêt et responsable des émissions obligataires de grandes entreprises, je partage ici mon expertise sur les obligations. Mon objectif ? Démystifier ce marché et apporter de la valeur à tous, du débutant à l’investisseur chevronné.
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