Rendement actuariel (taux actuariel) : définition, exemples, calculs...

TRI, taux actuariel, etc. : d’abord, un peu de définitions

Le taux de rendement actuariel est le taux d’intérêt qui « relie » une somme d’argent A à une somme d’argent B, à deux dates différentes.

Par exemple si j’ai placé 1000 € il y a un an et que ce placement m’a donné 1050 € aujourd’hui, le taux est facile à calculer : 5%.

Un taux de rendement actuariel, ça peut être aussi simple que cela !

Mais comment fait-on sur plusieurs années ? Et si le placement verse des intérêts intermédiaires ? (un livret pendant 10 ans par exemple). Et s’il y avait eu des retraits ? Les formules seront plus complexes, mais ce sera la même idée.

Les termes :

• taux de rendement actuariel (TRA)
• taux de rendement actuariel annuel brut (TRAAB)
• rendement actuariel
• taux actuariel
• taux de rentabilité interne (TRI)

… désignent la même chose. Les financiers préfèrent le terme « actuariel », les industriels parlent de TRI (le TRI d’un projet par exemple). Mais c’est pareil.

Je vais maintenant vous expliquer le taux actuariel de façon progressive :

• Sur des flux uniques (type zéro coupon)
  • Valeur actuelle d’un montant que l’on recevra dans le futur
  • Taux implicite d’une obligation sans coupons
• Sur des flux multiples (type obligation à taux fixe)
  • Valeur d’une obligation à taux fixe
  • Taux implicite d’une obligation à taux fixe
• Remarques et conseils pour geeks des maths financières

Exemple de taux actuariel sur des flux uniques (type zéro coupon)

La valeur aujourd’hui d’un paiement promis dans le futur dépend des taux d’intérêt

Un euro dans le futur vaut moins qu’un euro aujourd’hui.

En effet, si je vous demande à choisir entre :

• recevoir 100 € tout de suite
• recevoir 100 € dans un an
• recevoir 100 € dans 50 ans

Vous préférez les recevoir tout de suite, ou si ce n’est pas possible, dans un an, et en dernier recours dans 50 ans. En effet, en recevant l’argent tout de suite, vous pouvez le dépenser, le placer… et aussi l’utiliser dans 1 an ou dans 50 ans si vraiment vous ne savez pas quoi en faire. Vous avez donc davantage de possibilités. En outre, plus vous attendez, plus vous risquez que j’oublie ma promesse ou que je décède. Et il y a aussi l’inflation : les prix auront augmenté dans un an, et encore plus dans 50 ans.

Recevoir plus tard est donc moins intéressant. Mais combien moins ? Tout est question de montant. Vous préférez sans doute 1 million d'euros dans un an que 100 € toute de suite. Et 110 € ?

L’ampleur du « moins » est fonction des taux d’intérêt. Lorsque les taux sont élevés, le manque à gagner à avoir de l’argent dans le futur est plus douloureux. Les euros du futurs valent donc moins. Lorsque les taux sont faibles, ce n’est pas si grave. Lorsqu’ils sont élevés, cela devient grave.

Voici la valeur actuelle de 100 € que l’on vous promet de recevoir dans le futur, à différentes dates. Sa valeur actuelle dépend des taux d’intérêt.

On constate que plus les taux sont élevés et plus les durées sont longues, moins l’argent futur a de valeur… On s’en doutait, mais les chiffres sont parfois étonnants !

La formule utilisée ici a été : Valeur actuelle = Valeur future / (1 + taux) ^ nb années

Par exemple, pour la valeur de 100 € dans 5 ans avec des taux à 10% : Valeur actuelle = 100 / (1,10^5) = 62,09 €

L’hypothèse derrière ce calcul, c’est que vous pouvez placer au taux indiqué. Ainsi, recevoir 62,09 € aujourd’hui ou 100 € dans 5 ans est la même chose pour vous. Bien entendu, ce n’est pas une hypothèse très réaliste, mais c’est ainsi que fonctionne le calcul actuariel.

Cela veut aussi dire que recevoir 63 € est plus intéressant pour vous que 100 € dans le futur, car en les plaçant vous recevrez davantage à terme.

Trouver le taux d’intérêt (implicite) d’un placement selon le prix payé

On peut aussi retourner cette formule : connaissant une valeur ajourd’hui et une valeur future, combien rapporte ce placement ?

C’est le calcul à faire lorsqu’on cherche à acheter des obligations zéro coupon intéressantes sur le marché.

On connaît alors :

• combien on sera remboursé (c'est contractuel, dans la documentation de l'oblig)
• à quelle date on sera remboursé (idem)
• le prix proposé par le marché (c'est contextuel, cela change tous les jours selon l’offre et la demande)

Imaginons par exemple que l’on trouve des obligations zéro coupon qui payent :

• 100 € dans 3 ans, proposées à 80 € aujourd’hui
• 100 € dans 10 ans, proposées à 60 € aujourd’hui
• 100 € dans 5 ans, proposées à 75 € aujourd’hui

Aucune ne paye de coupon intermédiaire. Le paiement de 100 € est le seul que l’on recevra. Il n’y a donc pas de taux d’intérêt car pas d’intérêt : le taux est implicite. Il est lié à la plus-value.

Alors, laquelle est la plus rentable ? On aimerait savoir à quel taux de placement cela correspond afin de savoir si on gagnerait plus en laissant l’argent sur un Livret par exemple.

Pour cela, on retourne la formule vue précédemment. On cherche le taux actuariel implicite qui correspond au prix payé.

La formule est :

Taux actuariel = (Valeur future / Valeur présente) ^ (1/ nb années) – 1

En images, pour différentes maturités, cela donne :

Exemple de calcul : une obligation zéro coupon cote 80 et sera remboursée 100 dans trois ans et demi.

On gagne 100/80 – 1 = 25% de plus-value en trois ans et demi. Le rendement annuel est donc : 1.25 ^ (1 / 3,5) -1 = 6.583%

On peut vérifier en retournant la formule : 80 € placés à 6.583% par an pendant trois ans et demi donnent : 80 * (1,06583^3,5) = 100 €

En récoltant assez d’informations sur les prix des obligations zéro coupon de différentes maturités, on peut créer une courbe des taux zéro coupon.

Astuce : la notion de facteur d'actualisation

Manipuler des divisions et des puissances n’est pas toujours pratique. Alors on utilise souvent le facteur d’actualisation. C’est le pourcentage par lequel il faut multiplier un montant futur pour connaître sa valeur actuelle.

Ainsi, dans l’exemple précédent (5 ans à 10%), on peut aussi dire : « le facteur d’actualisation à 5 ans est de 0,6209 ».

Avec cette information, il suffit de multiplier les montants qui seront reçus à 5 ans par 0,6209 pour obtenir leur valeur actuelle. 100 € ne valent plus que 62,09 €. C'est bien plus simple !

Il y a un facteur par maturité. L’idée est de calculer tous les facteurs et de faire correspondre dans un tableur les dates et leur facteur d’actualisation.

Calcul actuariel lorsqu'il y a des flux intermédiaires, comme des coupons d’obligations

Pour l’instant, nous avons uniquement raisonné avec des obligations zéro coupon. Elles sont simples, elles n’ont que deux flux : l’achat et le remboursement.

Mais la plupart des obligations payent des coupons intermédiaires. Comment cela modifie les calculs ?

Connaître la valeur actuelle d’une série de flux futurs

Il faut d’abord créer l’échéancier de l’obligation, c’est à dire le calendrier des paiements. Plutôt que d’utiliser les dates, on calcule le nombre d’années ou le nombre de jours qui nous séparent de ce flux.

Ensuite, l’idée est simple : on considère chaque flux futur, coupon ou principal, comme une mini-obligation zéro coupon. Il suffit alors de calculer la valeur individuelle de chaque flux (soit avec la formule officielle qui fait intervenir la fonction puissance, soit en multipliant par le facteur d’actualisation), puis de les additonner.

Exemple pour une obligation 6 ans qui paye 4%, et qui sera remboursée au pair à 100 €, dans un contexte de taux d’intérêts à 5%.

Dans combien de temps (années)	Flux	Taux d’actualisation de ce flux	Valeur actuelle du flux
1 an	4 €	5%	4 / (1,05) ^ 1 = 3,810€
2 ans	4 €	5%	4 / (1,05) ^ 2 = 3,628 €
3 ans	4 €	5%	4 / (1,05) ^ 3 = 3,455 €
4 ans	4 €	5%	4 / (1,05) ^ 4 = 3,291 €
5 ans	4 €	5%	4 / (1,05) ^ 5 = 3,134 €
6 ans	104 €	5%	4 / (1,05) ^ 6 = 77,606 €
		Total	94,924 €

Cela signifie que dans un monde où l’on peut placer à 5% cette obligation vaut 94,924 €.

Si on l’achète à 94,924 €, on a un placement à 5% : les coupons sont plus faibles que les taux de marché, mais la plus-value que l’on réalisera compensent ce manque à gagner. Cette obligation est identique, d’un point de vue mathématique, à une obligation de même maturité à 5 % que l’on payerait 100 €.

Notes :

• on aurait aussi pu aussi utiliser les facteurs d’actualisations vus plus haut. On aurait alors multiplié chaque flux par le facteur qui correspond à la date. C’est souvent plus pratique !
• dans le monde réel, il est rare que la courbe des taux soit plate. Les taux d’actualisation sont différents selon les maturités. Il aurait fallu utiliser un taux différent pour chaque année. Néanmoins, la simplification liée au taux unique est très fréquente dans le monde financier. Elle n’est pas gênante pour des besoins courants (choisir des obligations par exemple). Et elle est cohérente avec la notion de taux actuariel que l’on va tout de suite aborder.

Connaître le taux acuariel d’une obligation dont on connaît le prix d’achat

Ici encore, on peut renverser la formule. On a :

• un prix d’achat (par exemple, 80% du nominal)
• une série de coupons avec leurs dates (par exemple, 3% du nominal chaque année pendant 8 ans)
• une valeur de remboursement avec sa date (par exemple, 100% du nominal dans 8 ans)

Comment connaître le taux d’intérêt de ce placement ?

Ici, il faut nécessairement passer par une formule complexe.

Dans combien de temps (années)	Flux	Taux d’actualisation de ce flux	Valeur actuelle du flux
1 an	3 €	X % (inconnu)	3 / (1 + X ) ^ 1
2 ans	3 €	X % (inconnu)	3 / (1 + X) ^ 2
3 ans	3 €	X % (inconnu)	3 / (1 + X) ^ 3
4 ans	3 €	X % (inconnu)	3 / (1 + X) ^ 4
5 ans	3 €	X % (inconnu)	3 / (1 + X) ^ 5
6 ans	3 €	X % (inconnu)	3 / (1 + X) ^ 6
7 ans	3 €	X % (inconnu)	3 / (1 + X) ^ 7
8 ans	103 €	X % (inconnu)	4 / (1 + X) ^ 8
		Total	80 €

On cherche le X qui va permettre de tomber sur une valeur de 80 €.

C’est une équation polynomiale de degré 8. Il n’existe pas de formule explicite pour la résoudre : les tableurs Excel utilisent des tâtonnements (dichotomie ou méthode de Newton).

La réponse est 6,26%.

Les formules dans Excel ou LibreOffice Calc :

• TRI() si les paiement sont échelonnés de façon régulière mode d’emploi ici – la fonction s’appelle IRR() en anglais
• TRI.PAIEMENTS() quelle que soit la périodicité, mais vous devez fournir l’échéancier mode d’emploi ici – XIRR() en anglais

je vous recommande d’utiliser systématiquement TRI.PAIEMENTS() : entrer un échéancier minimise le risque d’erreur humaine.

Souvent, on peut rajouter en dernier paramètre (facultatif) une « estimation ». Comme le tableur fonctionne par itérations, lui dire par où commencer peut accélérer le calcul. Dans les faits, les calculs obligataires sont assez simples et n’ont pas besoin de cette estimation. Mais peut permettre de le guider si le polynôme a plusieurs solutions et que le tableur présente une solution aberrante.

Voilà, vous savez maintenant l’essentiel sur le taux d’actualisation et le calcul actuariel des obligations.

Vous pouvez arrêter votre lecture ici si c’était votre première approche du sujet 🙂

Remarques et conseils en vrac (pour geeks de la finance)

Ce qui suit est uniquement destiné aux geeks de la finance et des mathématiques.

Le taux d’actualisation renoyé par les formules TRI.PAIEMENTS et XIRR est unique, donc faux !

Par convention, les formules de calcul actuariel renvoient un taux unique, identique pour toutes les maturités. Dans la vraie vie, la courbe des taux n’est pas plate : les taux sont rarement uniques.

Le taux renvoyé est donc… faux !

En effet, si on était puriste, on pourrait s’arranger pour chercher des taux différents afin de former une courbe des taux ayant une forme non plate.

Par exemple, si l'on voulait créer une courbe croissante cohérente avec un échéancier et des prix d'obligations, voici comment on ferait.

On commencerait par utiliser le taux actuariel renvoyé par la formule, mettons 5%.

On choisirait de créer une courbe des taux croissante après observation de la courbe des taux du marché. On pourrait alors fixer arbitrairement 5,2% sur le taux 8 ans, puis recalculer les taux 1 à 7 ans, puis fixer le taux 7 ans un peu plus bas, puis recalculer, puis fixer un nouveau, etc. Jusqu’à former une nouvelle courbe des taux. On aurait alors, non pas le taux actuariel de l’oblig, mais sa courbe des taux actuariels.

Ce serait une solution juste mathématiquement et financièrement, mais peu utile en pratique : rappellons-nous que l’objectif de ce calcul est d’avoir un taux unique pour chaque obligation, afin de les comparer entre elles.

Car en cherchant des taux différents, on pourrait trouver une infinité de solutions : on aurait une infinité de courbes des taux d’actualisation possibles pour chaque obligation.

Comment comparer deux infinités de courbes ? Ingérable ! Alors qu’en cherchant un taux unique, il n’y a qu’une seule solution (OK, mathématiquement, il peut y en avoir plusieurs aussi, mais on prend la plus cohérente).

Le taux unique a ses atouts !

Le souci du taux unique lorsqu’on évalue la juste valeur une obligation

On vient de voir que le taux actuariel d’une obligation est par nature faux. Mais il n’a pas besoin d’être exact, ce n’est pas une valeur comptable, c’est juste un taux que l’on utilisera pour la gestion de son portefeuille. Les approximations ne sont pas graves.

En revanche, calculer la juste valeur d’une obligation a des conséquences importantes : cela peut modifier la solvabilité d’une compagnie d’assurances par exemple, ou l’endettement d’une entreprise et donc l’octroi de crédits.

Il convient donc de chercher la meilleure valeur, et les commissaires aux comptes sont attentifs à la méthodologie utilisée.

Pour être juste, il ne faut pas utiliser un taux d’actualisation unique mais procéder ainsi :

1. Trouver le prix de marché des obligations zéro coupon
2. Extraire les taux actuariels de chaque maturité
3. Construire une courbe des taux zéro coupon
4. Actualiser chaque flux en utilisant les taux de cette courbe (ou les facteurs d’actualisation).

Bien entendu, on utilise la même courbe pour toutes les obligations ayant la même devise. On l’arrêtera à chaque clôture des comptes.

Comment estimer des taux actuariels de tête

Lorqu’on scanne du regard une liste d’obligations, on a parfois besoin de savoir quel est leur taux actuariel. Mais calculer des racines n-ièmes de tête n’est pas facile… Voici les méthodes « Robin des bonds », peu académiques, mais bien pratiques. Ne les révélez pas aux autres s’il vous plaît 🙂

Pour une obligation classique (zéro coupon ou taux fixe avec coupons)

L’avantage est que le libellé de l’obligation est souvent de type « EMETTEUR 5% 09/2043 » : on a toutes les infos en une ligne. Inutile de sortir Excel ni même de regarder le prospectus de l’obligation.

Pour une obligation perpétuelle

On ne peut pas écrire tous les flux dans un échéancier : les flux d’une obligation perpétuelle ou d’un titre participatif sont infinis.

Méthode simple : on divise le coupon par le cours. On obtient alors un rendement « instantané », de même ordre que celui qu’on calcule sur les actions.

Exemple : une obligation perpétuelle paye des coupons de 7%. On peut l’acheter 90%. Son taux de rendement instantané est de 7/0,9 = 7,7%.

Astuce : les perpétuelles peuvent significativement décoter. Il faut garder en tête des multiplicateurs selon le prix de oblig : - 90% : on ajoute 10% au taux coupon - 80% : on ajoute un quart - 75% : on ajoute un tiers - 66% : on ajoute la moitié - 50%: on double

Ainsi on peut très facilement calculer le rendement instantané d’une perpétuelle 8% qui cote 66% : 8+4 = 12%.

Si l’obligation est callable, on peut faire une hypothèse. Si on estime que l’obligation sera callée dans 10 ans, on peut estimer son taux actuariel avec une des méthodes présentées plus haut (ici : 7% + 1% par an = 8% - bien entendu sous réserve d'exercice du call ).

Dans un calcul avec call, on peut aussi estimer que l’émetteur zappera un ou deux coupons sur la période. La perte de chaque coupon fait baisser le taux actuariel de 0,7%. L’idée n’est pas d’être parfait, mais d’estimer en cinq secondes un rendement.

Méthode académique : on considère que l’obligation a 100 ans (ou 1000, bref beaucoup), et n’est jamais remboursée. Arrivé un moment, l’actualisation rendra les coupons insignifiants.

Exemple :

=IRR({-90;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7}) dans Excel renvoie 7,78%.

Encore une fois, la méthode intuitive est très correcte : on avait estimé à 7,7%.

Pour une obligation convertible

Ce que je fais en priorité : je calcule le TRI en faisant l’hypothèse d’un remboursement du capital au nominal (c’est à dire, pas de conversion en actions).

C’est l’hypothèse pessimiste, qui permet de trouver un rendement équivalent à une obligation corporate. On arrive en général sur un rendement inférieur à celui d’une obligation « pure » du même émetteur, le sous-rendement étant compensé par la participation à la hausse de l’action. On a accepté des moindres coupons en échange d’un call sur l’action.

Pour une obligation indexée sur l’inflation

Là, ce n’est pas facile ! Les obligations sur l’inflation sont des animaux bien plus complexes qu’il n’y paraît. En général, je fais un scénario pessimiste, où l’inflation est à 0 pour voir le rendement « minimum garanti », puis je fais d’autres scénarios.

Et comment on gère la fiscalité ?

Pour obtenir un TRI « net », deux méthodes :

• La méthode approximative : on le multiplie par 0,7 pour tenir compte de la Flat Tax.
• La méthode juste : on construit son échéancier avec les coupons nets, après Flat Tax. Attention : on applique la flat tax uniquement sur la plus-value, pas sur le capital complet !

Le TRI ne fait pas tout : pensez aussi à la durée de placement

Lorsque vous scannerez des listes d’obligations, vous trouverez parfois des TRI très élevés, mais sur des durées très courtes. Outre les effets de bord (une obligation qui arrive à maturité dans un mois peut présenter un TRI très élevé si elle est illiquide, mais vous ne gagnerez pas grand chos en euros), et à risque de crédit équivalent, le TRI ne doit pas être le seul critère.

Je préfère trouver un placement à un TRI de 10% qui dure 5 ans, plutôt que de placer à 12% pendant un an seulement.

Tout est question d’appréciation personnelle et d’anticipation des taux à venir.

Voilà, avez fini cette page sur le calcul actuariel. J'espère que c'est plus clair pour vous.