La convexité des obligations

Convexité d'une obligation : définition formelle et rôle

En finance, la convexité mesure la variation de la sensibilité d’un actif obligataire à une fluctuation des taux d’intérêt.

Plus précisément :

• La sensibilité est la pente de la courbe "prix d’une obligation" en fonction du taux
• La convexité est la courbure de cette relation

Formellement :

\[ \text{Convexité} = \frac{\partial^2 P}{\partial r^2} \]

où :

• \( P \) = prix de l’obligation
• \( r \) = taux d’intérêt

Elle sert à ajuster les estimations de variation de prix faites à partir de la sensibilité, notamment quand les variations de taux sont importantes.

Intuitivement, la sensibilité seule ne peut pas expliquer 100% du mouvement de prix

Commençons d'abord par une approche intuitive.

On a vu précédemment que la sensibilité donnait une estimation linéaire :

• Si une obligation a une sensibilité de -10, alors une hausse de 5 points de base (+0,05%) des taux fait baisser son prix de 5 %

• Une baisse des taux de 5 points de base (+0,05%) fait monter son prix de 5 %

• Mais une hausse des taux de 10% (1000 points de base) ferait-elle baisser son cours de 100 % ? Non. Cela serait impossible. Le prix ne peut pas devenir nul, ni négatif.

On doit rater quelque chose...

Cela prouve que la relation prix/taux n’est pas linéaire, mais convexe.

• La convexité rend les obligations moins sensibles quand les taux montent, et plus sensibles quand les taux baissent.
• C’est donc un avantage pour l’investisseur.

Calculer la convexité : une formule et un exemple

On peut calculer une approximation de la convexité avec :

\[ \text{Variation corrigée} \approx -\text{Duration modifiée} \cdot \Delta r + \frac{1}{2} \cdot \text{Convexité} \cdot (\Delta r)^2 \]

Ce terme quadratique permet de corriger les estimations de variation du prix pour des mouvements de taux significatifs.

Facteurs qui influencent la convexité

Une obligation zéro coupon 20 ans est beaucoup plus convexe qu’une obligation à coupon annuel 5 % sur 3 ans.

Convexité positive, nulle, négative

• Une obligation classique à taux fixe a toujours une convexité positive
• Une obligation à call (rappelable par l’émetteur) peut avoir une convexité réduite ou nulle
• Une obligation exotique, comme certains produits structurés, peut avoir une convexité négative

Exemples :

• Une obligation callable à 100 € qui cote 99 € ne pourra jamais valoir plus que 100 €, même si les taux baissent.
  ➜ Convexité écrasée
• Une obligation à 60 € aura, en revanche, une vraie sensibilité à une baisse de taux.
  ➜ Convexité restaurée

Si vous connaissez les options, vous connaissez le grec "gamma", qui mesure la convexité. C'est exactement la même chose sur les obligations !

Pourquoi c’est important pour l’investisseur

Une obligation avec une convexité élevée :

• perd moins que prévu quand les taux montent
• gagne plus que prévu quand les taux baissent
• est donc plus résiliente aux mouvements de marché

C’est pourquoi les obligations très convexes sont souvent un peu plus chères, à maturité et rendement égal. La convexité se paye (un peu comme le gamma sur les options, qui se paye en perte de theta).

En finance, la convexité est toujours une bonne chose, toutes choses égales par ailleurs.

Faut-il en tenir compte ?

• Si vous gérez un portefeuille important ou faites du risk management, oui.
• Si vous êtes un particulier avec quelques obligations simples, vous pouvez l’ignorer la plupart du temps.

Retenir que :

• Les obligations longues, à faible coupon, sont les plus convexes
• Les obligations avec call ou put intégré sont moins convexes
• La convexité augmente la qualité d’un portefeuille, mais réduit son rendement immédiat

Cas particulier : la convexité négative

Une obligation peut exceptionnellement avoir une convexité négative. Cela signifie que sa sensibilité augmente quand les taux montent, et diminue quand les taux baissent : exactement l’inverse de ce qu’un investisseur souhaite.

Quand cela se produit-il ?

• Obligations à call rapproché : si le prix de l’obligation approche le prix de rappel (généralement 100), sa valeur plafonne.
• Obligations à taux révisables non plafonnés : le coupon peut augmenter fortement si les taux montent, rendant l’obligation plus volatile.
• Produits structurés dérivés : certains intègrent des options exotiques qui rendent le prix non-convexe.

Illustration :

Conséquences

• Ces obligations sont dangereuses en cas de stress de marché
• Leur prix peut baisser plus fortement que prévu
• Les gérants évitent souvent ce type de profil, sauf arbitrage clair

Une convexité négative inverse donc le bénéfice habituel de la convexité : elle pénalise dans les deux sens. Elles ne sont pas forcément à éviter, car elles se traitent à un rendement plus élevé... Encore ce fameux couple rendement/risque.

Pour aller plus loin

• Sensibilité des obligations
• Duration et duration modifiée
• Clause de rappel anticipé